Como o comportamento de partículas elementares e a estrutura do universo inteiro podem ser descritos usando os mesmos conceitos matemáticos? Essa pergunta está no cerne do trabalho recente das matemáticas Claudia Fevola, do Inria Saclay, e Anna-Laura Sattelberger, do Instituto Max Planck de Matemática nas Ciências, publicado recentemente nas Notices of the American Mathematical Society.
Para o ponto:
- Conectando matemática e física: O estudo explora como a geometria positiva e a álgebra, uma das principais protagonistas do florescente campo da geometria positiva, unificam a física desde partículas subatômicas até galáxias.
- Além dos diagramas de Feynman: A geometria positiva oferece uma perspectiva complementar aos métodos tradicionais da teoria quântica de campos, proporcionando uma estrutura geométrica para descrever interações de partículas ao lado dos diagramas de Feynman.
- Das colisões de partículas ao Big Bang: Ferramentas da geometria algébrica, teoria de D-módulos e combinatória impulsionam esse progresso interdisciplinar, ajudando a decifrar as estruturas fundamentais das interações de partículas e os primeiros estados do universo.
A matemática e a física compartilham uma relação próxima e recíproca. A matemática oferece a linguagem e as ferramentas para descrever fenômenos físicos, enquanto a física impulsiona o desenvolvimento de novas ideias matemáticas. Essa inter-relação permanece vital em áreas como a teoria quântica de campos e a cosmologia, onde estruturas matemáticas avançadas e teorias físicas evoluem juntas.
No artigo, as autoras exploram como estruturas algébricas e formas geométricas podem nos ajudar a entender fenômenos que vão desde colisões de partículas, como as que ocorrem em aceleradores de partículas, até a arquitetura em larga escala do cosmos. Sua pesquisa está centrada na geometria algébrica. As recentes investigações também se conectam a um campo denominado geometria positiva – um assunto interdisciplinar e inovador na matemática impulsionado por novas ideias em física de partículas e cosmologia. Esse campo foi inspirado pelo conceito geométrico de geometria positiva, que expande a abordagem padrão dos diagramas de Feynman na física de partículas, representando interações como volumes de objetos geométricos de alta dimensão, como o amplituhedron, introduzido pelos físicos teóricos Nima Arkani-Hamed e Jaroslav Trnka em 2013. Ele possui uma rica estrutura combinatória e oferece uma maneira alternativa, potencialmente mais simples, de calcular amplitudes de espalhamento, a partir das quais se podem derivar probabilidades de eventos de espalhamento.
Essa abordagem tem implicações de longo alcance que vão além da física de partículas. Na cosmologia, os cientistas estão utilizando a luz tênue do fundo cósmico de micro-ondas e a distribuição de galáxias para inferir o que moldou o universo primitivo. Ferramentas matemáticas semelhantes estão sendo aplicadas. Por exemplo, politopos cosmológicos, que são geometrias positivas, podem representar correlações na primeira luz do universo e ajudar a reconstruir as leis físicas que governaram o nascimento do cosmos.
Uma Geometria para o Universo
O artigo destaca que a geometria positiva não é uma curiosidade matemática de nicho, mas uma possível linguagem unificadora para diferentes ramificações da física teórica. Essas estruturas geométricas codificam naturalmente a transferência de informações entre sistemas físicos, por exemplo, ao mapear conceitos concretos, baseados em sentidos, para estruturas abstratas, um processo que reflete como os seres humanos compreendem o mundo de forma metafórica.
A matemática por trás disso é sofisticada e abrange múltiplas disciplinas. As autoras se baseiam na geometria algébrica, que define formas e espaços através das soluções de sistemas de equações polinomiais; na análise algébrica, que estuda equações diferenciais através de objetos matemáticos chamados D-módulos; e na combinatória, que descreve os arranjos e interações dentro dessas estruturas.
Os objetos formais em consideração, como integrais de Feynman, integrais de Euler generalizadas ou formulários canônicos de geometrias positivas, não são meras abstrações matemáticas. Eles correspondem a fenômenos observáveis na física de altas energias e na cosmologia, permitindo cálculos de precisão do comportamento de partículas e das estruturas cósmicas.
Conectando Escalas com a Matemática
O estudo apresenta uma abordagem com ampla aplicabilidade e escalabilidade. Processos de dispersão são frequentemente ilustrados usando diagramas de Feynman. A abordagem de Feynman no estudo de amplitudes de dispersão se reduz ao estudo de integrais intrincadas associadas a esses diagramas. A geometria algébrica fornece uma gama de ferramentas para investigar sistematicamente essas integrais.
O polinômio gráfico de um diagrama de Feynman é definido em termos das árvores geradoras e florestas do gráfico subjacente. A integral de Feynman associada pode ser expressa como uma transformada de Mellin de uma potência desse polinômio gráfico, interpretada como uma função de seus coeficientes. No entanto, esses coeficientes são restringidos pelas condições físicas subjacentes. As integrais de Feynman estão, portanto, intimamente ligadas a integrais de Euler generalizadas, especificamente através de restrições às subvariedades geométricas relevantes. Uma maneira de estudar essas funções holonômicas é através das equações diferenciais lineares que satisfazem, que são imagens inversas de D-módulos hipergeométricos. No entanto, a construção explícita dessas equações diferenciais continua a ser um desafio. Na cosmologia teórica, funções de correlação em modelos simplificados também assumem a forma de tais integrais, com integrais surgindo de arranjos de hipersuperfícies.
A complementaridade da variedade algébrica definida pelo polinômio gráfico em um toróide algébrico é uma variedade afinada muito, e a integral de Feynman pode ser vista como a emparelhamento de um ciclo torcido e de um cociclo dessa variedade. Suas propriedades geométricas e (co-)homológicas refletem conceitos físicos, como o número de integrais mestre. Essas integrais mestre formam uma base para o espaço de integrais quando os parâmetros cinemáticos variam, e o tamanho dessa base é, pelo menos genericamente, igual ao característico Euler topológico assinado da variedade.
Um Campo em Movimento
O trabalho de Fevola e Sattelberger reflete um crescente esforço internacional, apoiado pela concessão de sinergia ERC UNIVERSE+ de Nima Arkani-Hamed, Daniel Baumann e Johannes Henn, Bernd Sturmfels. Ele reúne matemática, física de partículas e cosmologia, focando precisamente nessas conexões entre álgebra, geometria e física teórica. “A geometria positiva ainda é um campo jovem, mas tem o potencial de influenciar significativamente a pesquisa fundamental tanto em física quanto em matemática”, enfatizam as autoras. “Agora cabe à comunidade científica trabalhar nos detalhes desses objetos e teorias matemáticas emergentes e validá-los. Encorajadoramente, várias colaborações bem-sucedidas já lançaram fundamentos importantes.”
Os desenvolvimentos recentes não apenas avançam nossa compreensão do mundo físico, mas também ampliam os limites da própria matemática. A geometria positiva é mais do que uma ferramenta. É uma linguagem. Uma que pode unificar nossa compreensão da natureza em todas as escalas.
